Dvojnásobný součin
Dvě kladná celá čísla mají součet \(30\). Ke každému z nich přičteme jejich původní největší společný dělitel. Součin takto zvětšených čísel je přesně dvojnásobkem původního součinu.
Která dvě čísla to jsou?
Řešení krok za krokem
Největší společný dělitel oddělí velikost od poměru
Po vydělení společným dělitelem zůstane jednoduchá rovnice pro dvě nesoudělná čísla.
Vytkneme NSD
Označme původní NSD písmenem \(d\) a napišme
\[a=dx,\qquad b=dy,\qquad \operatorname{NSD}(x,y)=1.\]
Převedeme podmínku o součinu
Rovnost \((a+d)(b+d)=2ab\) po vydělení \(d^2\) dává
\[(x+1)(y+1)=2xy,\qquad (x-1)(y-1)=2.\]
Kladné faktorové dvojice čísla \(2\) vedou až na pořadí k \(x=2\), \(y=3\).
Vrátíme se k součtu
\[a+b=d(x+y)=5d=30,\qquad d=6.\]
Čísla jsou \(12\) a \(18\). Jejich NSD je \(6\) a \(18\cdot24=2\cdot12\cdot18\).
Hledaná čísla jsou \(12\) a \(18\).