Když si přiťukne každý s každým

Znění úlohy

Při přípitku 8 lidí si každý ťukne s každým. Kolikrát uslyšíme cinknutí skleniček o sebe?

Lehká

Řešení úlohy

Co vlastně počítáme

Při jednom cinknutí se setkají skleničky právě dvou lidí. Nezáleží přitom na pořadí: přiťuknutí Anny s Jakubem je totéž jako přiťuknutí Jakuba s Annou.

Hledáme tedy počet různých dvojic, které lze vytvořit z osmi lidí.

Počítání krok za krokem

Začněme prvním člověkem. Může si přiťuknout se všemi sedmi ostatními, takže získáme $7$ cinknutí.

Druhému člověku zbývá $6$ nových cinknutí. Jeho přiťuknutí s prvním člověkem už totiž máme započítané. Třetí přidá $5$ nových cinknutí, čtvrtý $4$ a tak dále:

\[ 7+6+5+4+3+2+1=28. \]

Poslední člověk už žádné nové cinknutí nepřidá. Se všemi ostatními si přiťukl ve chvíli, kdy jsme počítali je.

Proč nestačí vypočítat $8\cdot7$

Každý z osmi lidí si přiťukne se sedmi dalšími. Součin $8\cdot7=56$ ale počítá každé cinknutí dvakrát: jednou z pohledu prvního člověka a podruhé z pohledu druhého.

Například cinknutí Anny s Jakubem se objeví mezi Anninými i mezi Jakubovými přiťuknutími. Proto musíme výsledek vydělit dvěma:

\[ \frac{8\cdot7}{2}=28. \]

Výpočet pomocí kombinatoriky

V kombinatorice právě takovou situaci popisují kombinace. Z osmi lidí vybíráme dva a na jejich pořadí nezáleží. Kombinační číslo $\binom{8}{2}$, které čteme „osm nad dvěma“, udává počet takových výběrů:

\[ \begin{aligned} \binom{8}{2} &=\frac{8!}{2!\,(8-2)!} =\frac{8!}{2!\,6!}\\[7pt] &=\frac{8\cdot7}{2\cdot1} =28. \end{aligned} \]

$\text{[math]}$

Poznámka:

Znak $8!$ čteme „osm faktoriál“ a znamená součin $8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$. Protože $8!=8\cdot7\cdot6!$, můžeme $6!$ v čitateli i jmenovateli zkrátit. Zůstane $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$.

Stejný postup platí pro libovolný počet $n$ lidí. Počet dvojic je:

\[ \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}. \]

Uslyšíme celkem 28 cinknutí.

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

Stejný výpočet použijeme všude tam, kde se každý spojí právě jednou s každým: při podávání rukou, při zápasech každého týmu s každým nebo při porovnávání všech dvojic předmětů.

Vzorec $\frac{n(n-1)}{2}$ platí jen tehdy, když počítáme každou dvojici právě jednou a na pořadí uvnitř dvojice nezáleží.