Mezi dvěma čtverci
Rozhodni, zda může být pro některé kladné celé číslo \(n\) výraz
\[n^4+3n^2+1\]
druhou mocninou celého čísla. Svou odpověď dokaž pro všechna kladná \(n\).
Řešení krok za krokem
Výraz leží ostře mezi sousedními čtverci
Najdeme dvě druhé mocniny, které se od zadaného výrazu liší jen o jednoduché kladné členy.
Najdeme dolní čtverec
\[(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1.\]
Zadaný výraz je o \(n^2\) větší. Protože \(n>0\), platí
\[(n^2+1)^2<n^4+3n^2+1.\]
Najdeme horní čtverec
\[(n^2+2)^2=n^4+4n^2+4.\]
Horní čtverec je od zadaného výrazu větší o \(n^2+3>0\), tedy
\[n^4+3n^2+1<(n^2+2)^2.\]
Využijeme sousednost
Čísla \(n^2+1\) a \(n^2+2\) jsou po sobě jdoucí celá čísla. Mezi jejich druhými mocninami proto neleží žádná další druhá mocnina celého čísla.
Pro žádné kladné celé \(n\) výraz není druhou mocninou.