Matematika

Odmocnina z výrazu na druhou

Znění úlohy

Čemu se rovná druhá odmocnina z výrazu na druhou?

Střední
odmocnina z výrazu na druhou

Řešení úlohy

Na první pohled se může zdát, že druhá odmocnina a druhá mocnina se jednoduše „zruší“:

\[ \sqrt{x^2}\stackrel{?}{=}x \]

Pro nezáporné \(x\) to opravdu vyjde. Výraz však může mít také zápornou hodnotu.

Co znamená druhá odmocnina

Rovnice \(y^2=9\) má dvě řešení, \(y=3\) a \(y=-3\). Obě čísla totiž po umocnění na druhou dají \(9\).

Aby měl znak odmocniny vždy jediný a jednoznačný výsledek, je druhá odmocnina z nezáporného čísla definovaná jako nezáporné číslo, jehož druhá mocnina se rovná číslu pod odmocninou. Zápis \(\sqrt{9}\) tedy znamená:

\[ \sqrt{9}=3 \]

Zápis \(\sqrt{9}\) proto není totéž jako řešit rovnici \(y^2=9\). Rovnice hledá všechna vyhovující čísla, ale znak odmocniny označuje pouze jeden, nezáporný výsledek.

Závorky rozhodují

Zápisy \((-3)^2\) a \(-3^2\) nejsou stejné. V závorce je celé číslo \(-3\), a proto umocňujeme i znaménko minus. Bez závorky se nejprve umocní číslo \(3\) a teprve potom se před výsledek napíše minus:

\[ 3^2=9 \]
\[ (-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9 \]
\[ -3^2=-(3^2)=-9 \]

Ve výrazu \(\sqrt{(-3)^2}\) je záporné číslo v závorce. Na druhou se tedy umocňuje celé číslo \(-3\).

Odmocnina proto v obou případech vrátí stejné číslo:

\[ \sqrt{3^2}=3 \]
\[ \sqrt{(-3)^2}=3 \]

Kdybychom ve druhém řádku odmocninu a mocninu pouze „škrtli“, dostali bychom \(-3\). To ale není možné, protože druhá odmocnina nemůže být záporná.

Absolutní hodnota hlídá znaménko

Potřebujeme tedy zápis, který kladné číslo ponechá a u záporného čísla odstraní znaménko minus. Přesně to dělá absolutní hodnota. Číslo \(|x|\) vyjadřuje vzdálenost čísla \(x\) od nuly, a proto nikdy není záporné.

\[ |x|= \begin{cases} x, & x\geq0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases} \]

Jestliže je \(x\) nezáporné, vyjde \(\sqrt{x^2}=x\). Jestliže je \(x\) záporné, vyjde \(\sqrt{x^2}=-x\), což už je kladné číslo. Oba případy proto můžeme zapsat jediným vztahem:

\[ \sqrt{x^2}=|x| \]

Když je uvnitř celý výraz

Stejné pravidlo platí i tehdy, když je na druhou umocněný celý výraz. Například:

\[ \sqrt{(x-5)^2}=|x-5| \]

Pro \(x=2\) je výraz \(x-5\) záporný. Dostaneme \(x-5=-3\), ale odmocnina z jeho druhé mocniny je \(3\):

\[ \sqrt{(2-5)^2}=\sqrt{(-3)^2}=3 \]

Pro každé reálné číslo \(x\) platí \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

Častá chyba je napsat \(\sqrt{x^2}=x\) bez další podmínky. Tato rovnost platí pouze pro \(x\geq0\). Pro libovolné reálné \(x\) musíme napsat \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Pozor také na pořadí operací. Platí \((\sqrt{x})^2=x\) pro \(x\geq0\), zatímco \(\sqrt{x^2}=|x|\) platí pro každé reálné \(x\).