Matematika

0,9 = 1 (přesně)

Znění úlohy

Opravdu je 0,999… rovno 1?
Jak je to možné?

Lehká

Řešení úlohy

Opravdu je 0,999… rovno 1?
Ano

Jak je to možné?
Protože 0,999… je jen jinak zapsaná jednička

Pro hodně lidí je to poměrně stresující a odmítají se s tím smířit, ale je to skutečně tak.
Ukažme si to:

\[ 0,\overline{9} = a \]

Položili jsme 0,9 rovno a.

Teď uděláme ještě několik kroků, abychom si ukázali, že 0,9 = 1

\[ \begin{aligned} a &= 0,\overline{9} \\ 10a &= 9,\overline{9} \\ 10a - a &= 9,\overline{9} - 0,\overline{9} \\ 9a &= 9 \\ a &= 1 \\ 0,\overline{9} &= 1 \end{aligned} \]

Proč se zápis 0,9 vůbec používá?

Tento zápis vzniká při převodu zlomků na desetinné číslo.

Například 1/3 se v desetinném zápisu zapíše jako 0,333… A když toto číslo vynásobíme třemi, dostaneme 0,999…, což je další důkaz toho, že 0,999… = 1.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= 0,\overline{3} \\[10pt] 3 \cdot \frac{1}{3} &= 3 \cdot 0,\overline{3} \\[10pt] 1 &= 0,\overline{9} \end{aligned} \]

0,9 = 1 (přesně)

Čísla \(1\) a \(0,\overline{9}\) nejsou dvě různá čísla. Jsou to pouze dva různé zápisy téhož čísla.

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

Podobně pak například: \[ 2{,}3 = 2{,}2\overline{9} \qquad 17 = 16{,}\overline{9} \qquad 0{,}8 = 0{,}7\overline{9} \qquad \frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6} \]

Samozřejmě, že zápisy pomocí celých čísel nebo zlomků používáme častěji. Nicméně tyto rovnosti platí. Pokud by neplatily, vznikly by v teorii reálných čísel nepříjemné rozpory.