Pět čísel v rovnováze
Máme pět kladných reálných čísel \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\). Platí \(x_1=2\), \(x_5=162\) a pro každý vnitřní člen, tedy pro \(i=2,3,4\),
\[x_i^2=x_{i-1}x_{i+1}.\]
Urči prostřední číslo \(x_3\).
Řešení krok za krokem
Lokální rovnováha vynutí jeden společný poměr
Kladnost všech čísel dovolí rovnosti vydělit a porovnat sousední poměry.
Převedeme podmínku na poměry
Z \(x_i^2=x_{i-1}x_{i+1}\) plyne \(\frac{x_i}{x_{i-1}}=\frac{x_{i+1}}{x_i}\). Pro \(i=2,3,4\) jsou tedy všechny sousední poměry stejné; označme je \(r>0\).
Spojíme krajní členy
\[162=2r^4,\qquad r^4=81.\]
Protože \(r>0\), jedinou možností je \(r=3\).
Určíme prostřední člen
\[x_3=x_1r^2=2\cdot3^2=18.\]
Podmínky určují celou pětici \(2,6,18,54,162\).
Prostřední číslo je \(x_3=18\).