Matematika

Pí

Znění úlohy

Kolik je přibližně číslo $\pi$, víme. Ale co nám tato hodnota vlastně říká?

Lehká

Řešení úlohy

Co číslo $\pi$ vlastně říká

Vezměme libovolný kruh. Změříme jeho průměr $d$ a obvod $o$. Potom obvod vydělíme průměrem:

\[ \frac{o}{d}=\pi. \]

Vyjde vždy stejné číslo:

\[ \pi=3{,}1415926535\ldots \]

Číslo $\pi$ tedy říká, kolikrát se délka průměru kruhu vejde do délky jeho obvodu. Vejde se tam třikrát a ještě zbude přibližně $0{,}14159$ průměru.

Obvod kruhu rozvinutý do tří celých průměrů a zbytku přibližně 0,14159 průměru

Na obrázku je průměr označen oranžově. Do modré délky obvodu se vejde třikrát celý a zelená část ukazuje zbývající kousek.

Kolikrát se průměr vejde do obvodu?

obvod = 3,1415926… průměru

Stejný poměr pro každý kruh

Malá mince a velké kruhové náměstí mají samozřejmě jiné průměry i jiné obvody. Jejich poměr je však stejný.

Když kruh například třikrát zvětšíme, jeho průměr se zvětší třikrát a obvod také třikrát. Ve zlomku se stejná změna nahoře a dole vykrátí:

\[ \frac{3o}{3d}=\frac{o}{d}=\pi. \]

Proto nezáleží na velikosti kruhu. Číslo $\pi$ je pro všechny kruhy stejné.

$\text{[math]}$

Poznámka:

Číslo $\pi$ nemá jednotku. Ve zlomku $\frac{o}{d}$ dělíme například centimetry centimetry, a jednotky se proto vykrátí.

Jak z $\pi$ vypočítáme obvod

Ze vztahu $\frac{o}{d}=\pi$ vyjádříme obvod:

\[ o=\pi d. \]

Má-li kruh průměr $10\,\mathrm{cm}$, jeho obvod je přibližně:

\[ o=\pi\cdot10\,\mathrm{cm} \doteq31{,}42\,\mathrm{cm}. \]

Značka $\doteq$ upozorňuje, že jsme výsledek zaokrouhlili. Protože průměr je dvojnásobkem poloměru, můžeme tentýž vztah zapsat také známým vzorcem:

\[ o=2\pi r. \]

Desetinný zápis nikdy neskončí

Hodnota $3{,}14$ je pouze přibližná. Číslo $\pi$ má za desetinnou čárkou nekonečně mnoho číslic, které se nezačnou pravidelně opakovat. Říkáme proto, že $\pi$ je iracionální číslo.

Nelze je přesně zapsat ani jako zlomek dvou celých čísel. Například $\frac{22}{7}$ je užitečný odhad, ale není to přesná hodnota $\pi$.

Proč se říká Ludolfovo číslo

Ludolf van Ceulen byl německo-nizozemský matematik, který žil v letech 1540 až 1610. Učil matematiku, ale také šerm, a později působil jako profesor v Leidenu.

Číslo $\pi$ neobjevil — lidé je znali už dávno před ním. Proslavil se však mimořádně přesným výpočtem jeho hodnoty. Určil $35$ číslic za desetinnou čárkou, což byla bez dnešních kalkulaček a počítačů obrovská práce. Na jeho počest se proto $\pi$ dodnes označuje také jako Ludolfovo číslo.

Jak Ludolf hodnotu zpřesňoval

Kružnici nahradil pravidelnými mnohoúhelníky. Oranžový mnohoúhelník na obrázku je vepsaný do kružnice, takže má o něco menší obvod. Zelený je opsaný kolem kružnice, takže má obvod o něco větší.

Modrá kružnice mezi oranžovým vepsaným a zeleným opsaným pravidelným šestiúhelníkem

Skutečný obvod kruhu tedy leží mezi obvody obou mnohoúhelníků. Čím více mají mnohoúhelníky stran, tím těsněji kružnici obepínají a tím přesnější hodnotu $\pi$ získáme.

Ludolf tento postup dovedl až k mnohoúhelníkům s $2^{62}$ stranami a vypočítal $\pi$ na $35$ desetinných míst. Výsledek byl později vytesán také na jeho náhrobek.

$\displaystyle \pi=\frac{o}{d}\doteq3{,}14159$

Číslo $\pi$ říká, kolikrát se průměr kruhu vejde do jeho obvodu.

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

Pro běžný výpočet většinou stačí použít tlačítko $\pi$ na kalkulačce a zaokrouhlit až konečný výsledek. Když zaokrouhlíme $\pi$ příliš brzy, chyba se v dalších krocích může zvětšovat.

Zápis $o=\pi d$ používá průměr $d$. Zápis $o=2\pi r$ používá poloměr $r$. Jde o tentýž vztah, protože $d=2r$.

Pí