Podíl a neobvyklý zbytek
Při dělení čísla \(244\) kladným celým číslem \(d\) vznikne kladný celočíselný podíl \(q\) a zbytek \(r\). Platí běžná podmínka \(0\le r<d\) a navíc
\[r=2q+1.\]
Jaké je nejmenší možné číslo \(d\)?
Řešení krok za krokem
Podíl musí dělit číslo o jednu menší
Podmínku pro zbytek nejprve převedeme na dělitelnost a potom nezapomeneme zkontrolovat nerovnost \(r<d\).
Dosadíme vztah pro zbytek
\[244=qd+r=qd+2q+1,\]
a tedy
\[243=q(d+2).\]
Kladný podíl \(q\) musí dělit \(243=3^5\).
Najdeme možné podíly
Možné hodnoty jsou \(q\in\{1,3,9,27,81,243\}\) a pro každou platí \(d=\frac{243}{q}-2\).
Musí však současně být \(2q+1<d\). Vyhoví právě \(q=1,3,9\), jimž odpovídají dělitelé \(241,79,25\). Pro \(q\ge27\) už je zbytek větší než dělitel.
Vybereme nejmenší dělitel a zkontrolujeme jej
Nejmenší z přípustných hodnot je \(d=25\). Pro \(q=9\) dostaneme \(r=19\) a skutečně
\[244=9\cdot25+19,\qquad 19<25.\]
Nejmenším možným dělitelem je \(d=25\).