Pohyblivý bod, stálý součet

Trojúhelník \(ABC\) má obsah \(84\). Bod \(M\) je střed strany \(AB\), bod \(N\) je střed strany \(AC\) a bod \(P\) leží kdekoli na úsečce \(BC\), včetně jejích konců.

Urči součet obsahů trojúhelníků \(AMP\) a \(ANP\). V krajních polohách počítej obsah degenerovaného trojúhelníku jako nulu. Závisí výsledek na poloze bodu \(P\)?

Řešení úlohy Skrýt řešení

Řešení krok za krokem

Dvě poloviny se složí v polovinu celku

Pohyb bodu \(P\) mění oba malé obsahy, ale jejich součet se dá vztáhnout ke dvěma částem původního trojúhelníku.

Rozdělíme původní trojúhelník

Zápisem \([XYZ]\) označujeme obsah trojúhelníku \(XYZ\). Úsečka \(AP\) rozdělí trojúhelník \(ABC\) na trojúhelníky \(ABP\) a \(ACP\). Jejich obsahy mají součet \(84\); pro \(P=B\) nebo \(P=C\) je jeden z nich nulový.

Použijeme středy stran

Trojúhelníky \(AMP\) a \(ABP\) mají stejnou výšku z bodu \(P\) ke straně \(AB\), ale \(AM=\frac12 AB\). Proto

\[[AMP]=\frac12[ABP].\]

Stejně tak \([ANP]=\frac12[ACP]\).

Sečteme obě poloviny

\[[AMP]+[ANP]=\frac12\bigl([ABP]+[ACP]\bigr)=\frac12\cdot84=42.\]

Vztah platí pro každou polohu \(P\) na celé úsečce \(BC\).

Součet obsahů je vždy \(42\) a na poloze bodu \(P\) nezávisí.