Přehýbání papíru

Znění úlohy

Kancelářský papír má tloušťku 0,1 mm. Jak bude vysoký (tlustý), pokud ho přehneme 50krát?

Střední

Řešení úlohy

Když papír přehneme jednou, celková tloušťka se zdojnásobí. Tedy 2 · 0,1 mm. Pokud ho přehneme dvakrát, opět se zdojnásobí (celkově už bude čtyřnásobná), tedy 2 · 2 · 0,1 mm atd.

Počet přehnutí	Tloušťka papíru
1	\(2 \cdot 0{,}1\,\text{mm}=2^1 \cdot 0{,}1\,\text{mm}\)
2	\(2 \cdot 2 \cdot 0{,}1\,\text{mm}=2^2 \cdot 0{,}1\,\text{mm}\)
3	\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 0{,}1\,\text{mm}=2^3 \cdot 0{,}1\,\text{mm}\)
4	\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 0{,}1\,\text{mm}=2^4 \cdot 0{,}1\,\text{mm}\)
5	\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 0{,}1\,\text{mm}=2^5 \cdot 0{,}1\,\text{mm}\)
…	…
\(x\)	\(2^x \cdot 0{,}1\,\text{mm}\)
50	\(2^{50} \cdot 0{,}1\,\text{mm}\)

Řešení této úlohy tedy je:
tloušťka = 0,1 · 2⁵⁰ mm = 112 589 990 684 262, 4 mm ≐ 112 589 991 km.

Pokud bychom papír o tloušťce 0,1 mm přehnuli 50krát byl by tlustý zhruba 112,6 milionu km.

Pro představu, vzdálenost Země-Měsíc je přibližně 384 400 km, takže by tento papír byl tlustý zhruba 293krát vzdálenost mezi Zemí a Měsícem.

Exponenciální funkce

Můžeme psát tloušťka = 0,1 · 2^{počet přehnutí} mm. Označíme-li obecně tloušťku y, počet přehnutí x a počáteční tloušťku A (tloušťka nepřehnutého papíru), dostaneme předpis tzv. exponenciální funkce (proměnná, u nás počet přehnutí, je v exponentu). Ta dvojka nám říká, že tloušťka papíru se po každém přehnutí zdvojnásobí.

\[ y = A \cdot 2^x \]

Celková tloušťka tedy neroste rovnoměrně, jako by tomu bylo u lineární závislosti, ale vždy se znásobí (u nás zdojnásobí) z předchozí hodnoty. Roste tedy exponenciálně.

Popis veličin a závislostí v exponenciální funkci y = A . 2^x

Tento graf ukazuje průběh závislosti tloušťky papíru na počtu přehnutí. Nicméně úplně neodpovídá realitě, protože zahrnuje i záporné hodnoty proměnné \(x\), tedy záporné počty přehnutí, které nedávají fyzikální smysl.

Dále je ta křivka spojitá (proměnná \(x\) v grafu nabývá libovolných reálných hodnot), takže ukazuje nejen celá přehnutí, ale například i 2,7 přehnutí nebo 14,89 přehnutí atd. Takové hodnoty však v této situaci nedávají praktický smysl.

Pokud bychom byli důslední a chtěli graf, který odpovídá realitě, vypadal takto:

Graf exponenciální funkce y = A . 2^x; pouze pro celočíselné hodnoty x

Definičním oborem (hodnoty, kterých může nabývat počet přehnutí; proměnná \(x\)) takové funkce je množina přirozených čísel plus nula (celá nezáporná čísla).

\[ D(f)=\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,4,5, \dots\} \]

U této úlohy by to pak byla celá nezáporná čísla do 50 včetně.

\[ D(f)=\{x\in\mathbb{N}_0 \mid x\leq 50\}=\{0,1,2,\dots,48,49,50\} \]

Grafem funkce nemusí být spojitá křivka, ale mohou to být i samostatné body.