Sedm sklenic v kruhu
Sedm sklenic stojí v kruhu a v každé může být jiné množství vody. V jediném okamžiku každá sklenice ponechá polovinu svého obsahu a druhou polovinu přelije do sousední sklenice napravo.
Po tomto současném přelití je v každé sklenici přesně \(100\ \mathrm{ml}\).
Kolik vody bylo původně v jednotlivých sklenicích?
Řešení krok za krokem
Rozhodující je lichý počet sklenic
Každý výsledný objem vznikne ze dvou sousedních původních objemů.
Zapíšeme sousední rovnice
Původní objemy po kruhu označme \(x_1,\ldots,x_7\), v mililitrech, indexy cyklicky. Ve sklenici \(i\) zůstane polovina \(x_i\) a přiteče polovina \(x_{i-1}\):
Porovnáme dvě sousední rovnice
Z rovností \(x_{i-1}+x_i=200\) a \(x_i+x_{i+1}=200\) plyne \(x_{i-1}=x_{i+1}\). Objemy jsou tedy stejné vždy ob jednu sklenici.
Obejdeme celý lichý kruh
Postupem o dvě pozice navštívíme v kruhu o sedmi místech všech sedm sklenic. Všechny objemy jsou stejné a z \(x+x=200\) vychází \(x=100\).
U sudého počtu sklenic by se mohly dvě různé hodnoty střídat. Lichost je podstatná.
V každé sklenici bylo už původně \(100\ \mathrm{ml}\).