Stejné obvody po řezu
Rovnostranný trojúhelník rozstřihneme přímým řezem rovnoběžným s jednou jeho stranou. Konce řezu leží na zbývajících dvou stranách a řez oddělí menší rovnostranný trojúhelník. Ten má stejný obvod jako vzniklý lichoběžník.
Jakou část obsahu původního trojúhelníku tvoří menší trojúhelník?
Řešení krok za krokem
Obvod určí délkové měřítko, obsah jeho druhou mocninu
Malý trojúhelník je původnímu podobný. Označíme jen poměr jejich stran.
Zavedeme měřítko
Nechť má původní trojúhelník stranu \(s\) a malý trojúhelník stranu \(ks\), kde \(0<k<1\). Obvod malého trojúhelníku je \(3ks\).
Spočítáme obvod lichoběžníku
Jeho základny mají délky \(s\) a \(ks\). Každé rameno je zbylá část původní strany, tedy \((1-k)s\). Proto
\[O_{\mathrm{lich.}}=s+ks+2(1-k)s=(3-k)s.\]
Porovnáme obvody a obsahy
\[3ks=(3-k)s,\qquad 4k=3,\qquad k=\frac34.\]
Obsahy podobných útvarů se mění s druhou mocninou délkového měřítka:
\[\frac{S_{\mathrm{malý}}}{S_{\mathrm{původní}}}=k^2=\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}.\]
Menší trojúhelník tvoří \(\frac9{16}\) původního obsahu.