Stoupání II

Znění úlohy

Kolik stupňů má 200% stoupání?

Střední

Řešení úlohy

Možná nás na první pohled napadne, že stoupání přece nemůže mít více než 100 %. Může. Procenta zde totiž neříkají, jakou část pravého úhlu svah zabírá. Vyjadřují poměr nastoupané výšky a vodorovné vzdálenosti.

Co znamená stoupání 200 %

Stoupání v procentech vypočítáme jako poměr výšky a vodorovné vzdálenosti. Tento poměr vynásobíme 100, abychom ho vyjádřili v procentech.

\[ s=\frac{\text{výška}}{\text{vodorovná vzdálenost}}\cdot 100\,\% \]

Pokud je stoupání 200 %, je poměr výšky a vodorovné vzdálenosti roven dvěma.

\[ 200\,\%=\frac{200}{100}=2 \]

Znamená to, že na 100 metrů vodorovné vzdálenosti nastoupáme 200 metrů výšky. Stejně tak bychom na 1 metr vodorovné vzdálenosti nastoupali 2 metry výšky.

$\text{[math]}$

Poznámka:

Vodorovná vzdálenost není délka samotného svahu. Délka svahu je přepona trojúhelníku, zatímco při výpočtu procentního stoupání používáme vodorovnou odvěsnu.

Ukážeme si to na obrázku, abychom byli moudřejší.

Pravoúhlý trojúhelník pro stoupání 200 procent s vodorovnou vzdáleností 100 metrů a výškou 200 metrů

Převod procent na stupně

Teď už potřebujeme zjistit úhel $\varphi$. Poměr protilehlé odvěsny (výšky) a přilehlé odvěsny (vodorovné vzdálenosti) nám v pravoúhlém trojúhelníku udává tangens.

\[ \begin{array}{l} \tan \varphi = \displaystyle\frac{200\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{m}} = 2 \\[10pt] \varphi = \arctan(2) \\[10pt] \varphi \mathrel{\dot{=}} 63{,}43^\circ \end{array} \]

$\text{[math]}$

Poznámka:

Jednotky ve zlomku se vykrátí. Dělíme metry metry, takže výsledný poměr je bez jednotky.

Stoupání 200 % má přibližně 63,43°.

Ověření výsledku

Ověříme si to opačným výpočtem. Z úhlu vypočítáme poměr výšky a vodorovné vzdálenosti a převedeme ho zpátky na procenta.

\[ \tan 63{,}43^\circ \mathrel{\dot{=}} 2 \]

\[ 2\cdot 100\,\%=200\,\% \]

Výsledek tedy sedí. Zaokrouhlený úhel 63,43° odpovídá stoupání přibližně 200 %.

Proč 200% stoupání nemá 180° ani 200°?

Mohlo by nás svádět vynásobit pravý úhel dvěma a říct, že když 100 % odpovídá 90°, pak 200 % odpovídá 180°. Jenže už první předpoklad není správný. Stoupání 100 % má 45°, ne 90°.

Procentní stoupání neudává procento z úhlu. Udává, kolik metrů výšky připadá na určitou vodorovnou vzdálenost. Proto se procenta a stupně nepřevádějí lineárně. Dvojnásobné procentní stoupání neznamená dvojnásobný úhel.

Například 100% stoupání má 45°, ale 200% stoupání nemá 90°. Má přibližně 63,43°. Dokonce i 2 000% stoupání má stále méně než 90°.

Porovnání stoupání 200 procent a 2000 procent při stejné výšce 200 metrů

Stoupání 2 000 % znamená, že na 10 metrů vodorovné vzdálenosti nastoupáme 200 metrů. Jeho úhel je přibližně 87,14°. Svah už je téměř svislý, ale stále ještě nemá 90°.

Obecný převod

Pokud známe stoupání $s$ v procentech a chceme získat úhel $\varphi$, vydělíme číselnou hodnotu stoupání stem a použijeme funkci arkustangens.

\[ \varphi=\arctan\!\left(\frac{s}{100}\right) \]

Pro $s=200$ tak dostaneme $\varphi=\arctan(2)$. Obráceně, pokud známe úhel, vypočítáme procentní stoupání pomocí tangentu.

\[ s=100\cdot\tan\varphi \]

Několik hodnot pro představu:

\[ \begin{array}{rcl} 30\,\% &\mathrel{\dot{=}}& 16{,}70^\circ \\[6pt] 100\,\% &=& 45^\circ \\[6pt] 200\,\% &\mathrel{\dot{=}}& 63{,}43^\circ \\[6pt] 500\,\% &\mathrel{\dot{=}}& 78{,}69^\circ \\[6pt] 2\,000\,\% &\mathrel{\dot{=}}& 87{,}14^\circ \end{array} \]

A co svislá stěna?

Čím více se úhel blíží k 90°, tím rychleji procentní stoupání roste. U svislé stěny je vodorovná vzdálenost nulová. Ve zlomku bychom tedy dělili nulou, což není možné.

Svislá stěna proto nemá žádné konečné procentní stoupání. Můžeme říct, že se stoupání při přibližování k 90° zvětšuje nade všechny meze. Ani velmi vysoké procento ale samo o sobě 90° nedosáhne.

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

200 % (s mezerou mezi číslem a znakem %) čteme jako dvě stě procent.
200% (bez mezery mezi číslem a znakem %) čteme jako dvěstěprocentní.

Při převodu stoupání z procent na stupně použijeme $\varphi=\arctan(s/100)$. Při převodu ze stupňů na procenta použijeme $s=100\cdot\tan\varphi$.