Stoupání

Znění úlohy

Které stoupání je prudší? 30%, nebo 30°?

Střední

Řešení úlohy

Stoupání v %

je definováno jako výška (počet nastoupaných metrů) na délku 100 metrů. Respektive poměr výšky a délky, který vynásobíme 100, abychom dostali procenta.

Ukážeme si to na obrázcích, abychom byli moudřejší.

Vidíme, že na 100 metrů délky jsme nastoupali 7 metrů. Stoupání je tedy 7 %. Pozor, proporčně to nesedí, protože velikosti stran trojúhelníku nejsou ve správném poměru. Nicméně, jako ilustrační obrázek pro pochopení to stačí.

Stoupání (označili jsme ho jako $s$) vypočítáme jako poměr výšky a délky. Když toto číslo vynásobíme 100, dostaneme hodnotu stoupání v procentech.

\[ s=\frac{52}{2700} \doteq 0{,}019 = 1{,}9\,\% \]

Je to vlastně to samé, jako když si řekneme, že pokud na 2700 metrech nastoupáme 52 metrů, tak na 100 metrech nastoupáme 27krát méně. Stačí tedy vydělit 52 číslem 27 a dostaneme hodnotu stoupání v procentech.

100% stoupání

Podle toho, jak jsme si stoupání definovali, 100% stoupání znamená, že na danou délku vystoupáme o stejnou hodnotu.

Například na 250 metrů délky nastoupáme 250 metrů výšky, na 23 000 metrů délky nastoupáme 23 000 metrů výšky, na 1 metr délky nastoupáme 1 metr výšky atd.

Stoupání, poměr výšky a délky, nám v těchto případech, kdy se délka rovná výšce, vyjde vždy 1, což je 100 %.

Kolik stupňů má 100% stoupání si ukážeme na obrázku.

To, že má 100% stoupání 45° vidíme na první, možná na druhý, pohled. Stoupání je tady vlastně úhlopříčka ve čtverci (na obrázku to je čtverec o straně 150 m). A ta svírá se stranou čtverce úhel 45°.

Teď možná někoho napadne, proč je 100% stoupání jen 45° a ne 90°. Stoupání 45° by pak bylo 50procentní. Mohlo by, ale proč to definujeme zrovna tak, aby 100% stoupání bylo 45° má své výhody, které si řekneme na konci.

Převod ° na %

Konečně se dostáváme k samotnému řešení úlohy. Stoupání 30° si převedeme na procenta a uvidíme, zda je to více, nebo méně než 30 %.

Opět si to ukážeme na obrázku…

Délku jsme zvolili 100 metrů, aby nám v podstatě hned vyšel výsledek v procentech.

Pokud tedy máme délku 100 m a zadaný úhel, stačí zjistit výšku a tím získáme výsledek.

Víme, že platí:

\[ \begin{array}{l} \tan 30^\circ = \displaystyle\frac{h}{100\,\mathrm{m}} \\[10pt] h = 100\,\mathrm{m}\cdot\tan 30^\circ \\[10pt] h \mathrel{\dot{=}} 57{,}74\,\mathrm{m} \end{array} \]

Při 30stupňovém stoupání nastoupáme zaokrouhleně 57,74 metrů na 100 metrů délky. Takové stoupání tedy má necelých 58 %.

Převod % na °

Co kdybychom to chtěli obráceně — vědět, kolik má 30procentní stoupání stupňů?

\[ \begin{array}{l} \tan \varphi = \displaystyle\frac{30}{100} \\[10pt] \varphi = \arctan\!\left(\displaystyle\frac{30}{100}\right) \\[10pt] \varphi \mathrel{\dot{=}} 16{,}70^\circ \end{array} \]

$\text{[math]}$

Poznámka:

Do zlomku na prvním řádku jsme nepsali jednotky (m), protože se vykrátí.

Stoupání 30° je prudší než stoupání 30 %.

Stoupání 30° ≐ 57,74 %; stoupání 30 % ≐ 16,70°.

Proč 100% stoupání není 90°?

V podstatě bychom si to takto mohli definovat, ale nebylo by to moc výhodné. Kdyby 90° odpovídalo 100 % a úhly bychom přepočítávali lineárně, bylo by 45° jen 50 % a 30° přibližně 33 %. Jenže při 45° vystoupáme na 100 metrů vodorovné vzdálenosti právě o 100 metrů. Proto je přehlednější říkat mu 100% stoupání.

Procentní stoupání totiž nepopisuje přímo velikost úhlu, ale poměr výšky a vodorovné vzdálenosti. A přesně tento poměr nám v pravoúhlém trojúhelníku dává tangens:

\[ \tan \alpha = \frac{\text{výška}}{\text{vodorovná vzdálenost}} \]

Proto je $\tan 30^\circ \doteq 0{,}577$, tedy necelých 58 %, $\tan 45^\circ = 1$, tedy 100 %, a $\tan 60^\circ \doteq 1{,}732$, tedy více než 173 %. Tangens proto není lineární funkce úhlu: čím více se blížíme k 90°, tím rychleji stoupání roste. A to odpovídá skutečnému svahu.

Pro 90° už je vodorovná vzdálenost nulová, takže bychom dělili nulou. $\tan 90^\circ$ proto není definován a stoupání svislé stěny míří do nekonečna, ne k 100 %.

Současná definice je tedy přehlednější: 30% stoupání hned znamená 30 metrů výšky na 100 metrů vodorovné vzdálenosti. A tangens je přesně funkce, která tento poměr převádí na úhel a zase zpátky.