Světlo počítané dvakrát

Tři reflektory osvětlují na podlaze plochy o obsazích \(24\ \mathrm{m^2}\), \(30\ \mathrm{m^2}\) a \(36\ \mathrm{m^2}\). Každý osvětlený bod leží přesně ve dvou světelných oblastech; žádný neleží jen v jedné ani ve všech třech. Na tvarech oblastí nezáleží.

Jak velká je celá osvětlená plocha?

Řešení úlohy Skrýt řešení

Řešení krok za krokem

Každý čtvereční metr se v součtu objeví dvakrát

Místo složitého kreslení průniků stačí přesně spočítat, kolikrát je každý bod zahrnut.

Sečteme údaje reflektorů

\[(24+30+36)\ \mathrm{m^2}=90\ \mathrm{m^2}.\]

Toto ještě není obsah sjednocení. Podle zadání je každý skutečně osvětlený kousek podlahy v součtu započten právě dvakrát.

Odstraníme dvojí započtení

Označíme-li celou osvětlenou plochu \(S\), platí

\[2S=90\ \mathrm{m^2},\qquad S=45\ \mathrm{m^2}.\]

Ověříme, že údaje nejsou ve sporu

Části osvětlené dvojicemi reflektorů mohou mít obsahy \(9\), \(15\) a \(21\ \mathrm{m^2}\). Jednotlivé osvětlené obsahy v metrech čtverečních pak jsou \(9+15=24\), \(9+21=30\) a \(15+21=36\).

Celkem je osvětleno \(45\ \mathrm{m^2}\) podlahy.