Třetina po půlení
Tři stejné sklenice jsou naplněny stejnými objemy: dvě čistou vodou a jedna čistým sirupem. V jednom kroku vybereme libovolné dvě sklenice, jejich obsah dokonale smícháme, rozdělíme na dvě stejné části a vrátíme do vybraných sklenic. Předpokládej, že se objemy při míchání sčítají a nic se neztratí.
Lze po konečném počtu kroků dosáhnout stejné koncentrace sirupu ve všech třech sklenicích? Odpověď dokaž.
Řešení krok za krokem
Půlení zachová součet, ale nevytvoří jmenovatel 3
Koncentrace budeme zapisovat jako objemové podíly sirupu od \(0\) do \(1\). Jeden krok je obyčejné aritmetické průměrování dvou hodnot.
Najdeme nutnou cílovou koncentraci
Počáteční stav koncentrací je \((0,0,1)\). Míchání a rovnoměrné rozdělení zachovává celkové množství sirupu, tedy součet koncentrací \(1\).
Kdyby byly nakonec všechny tři koncentrace stejné, každá by proto musela být \(\frac13\).
Popíšeme všechna čísla, která mohou vzniknout
Jeden krok nahradí dvě koncentrace \(u,v\) jejich průměrem \(\frac{u+v}{2}\). Z čísel \(0\) a \(1\) tak po konečně mnoha krocích vznikají jen zlomky tvaru
kde \(k\) a \(m\) jsou nezáporná celá čísla. Součet dvou takových zlomků lze převést na společný jmenovatel, který je mocninou dvojky; dělení dvěma jej pouze zdvojnásobí.
Třetina do této skupiny nepatří
Kdyby \(\frac13=\frac{k}{2^m}\), platilo by \(3k=2^m\). Pravá strana nemá žádný prvočíselný faktor \(3\), takže rovnost není možná.
Koncentrace se mohou k jedné třetině přibližovat, ale v žádném konečném kroku jí všechny tři přesně nedosáhnou.
Ne. Po konečném počtu kroků stejné koncentrace dosáhnout nelze.