Tři čísla, tři dělitelnosti
Tři navzájem různá kladná celá čísla mají součet \(36\). Každé z nich dělí součet zbývajících dvou beze zbytku.
Urči tato tři čísla a dokaž, že jiné trojice neexistují.
Řešení krok za krokem
Největší číslo pevně určí zbylá dvě
Seřazení čísel umožní využít nejen dělitelnost, ale i velikost možných násobků.
Seřadíme čísla
Označme \(a<b<c\). Protože \(c\mid a+b\) a současně \(0<a+b<2c\), jediným kladným násobkem \(c\) v tomto intervalu je \(c\) samotné:
\[a+b=c.\]
Použijeme dělitelnost prostředním číslem
Z podmínky \(b\mid a+c\) a rovnosti \(c=a+b\) dostáváme
\[b\mid 2a+b,\quad\text{tedy}\quad b\mid 2a.\]
Protože \(0<2a<2b\), musí být \(2a=b\). Následně \(c=a+b=3a\).
Využijeme součet
\[a+2a+3a=36,\qquad a=6.\]
Dostáváme \(a=6\), \(b=12\), \(c=18\). Kontrola: \(6\mid30\), \(12\mid24\) a \(18\mid18\).
Jedinou trojicí je \(6,\ 12,\ 18\).