Tři průměry za sebou
Pro dvě různá kladná čísla \(x,y\) označme jejich aritmetický, geometrický a harmonický průměr
\[A=\frac{x+y}{2},\qquad G=\sqrt{xy},\qquad H=\frac{2xy}{x+y}.\]
Mohou být hodnoty \(A,G,H\) třemi po sobě jdoucími celými čísly? Odpověď dokaž.
Řešení krok za krokem
Jedna přesná identita vyloučí tři sousední hodnoty
Pro různá kladná čísla mají tři průměry pevné pořadí a zároveň mezi nimi platí násobkový vztah.
Určíme pořadí
Pro dvě různá kladná čísla platí přísné nerovnosti
\[A>G>H>0.\]
Kdyby tedy byly průměry třemi po sobě jdoucími celými čísly, musely by pro nějaké celé \(m\) mít tvar \(A=m+1\), \(G=m\), \(H=m-1\).
Najdeme identitu mezi průměry
Přímo z definic vychází
\[AH=\frac{x+y}{2}\cdot\frac{2xy}{x+y}=xy=G^2.\]
Porovnáme s po sobě jdoucími čísly
Pro předpokládané hodnoty by ale
\[AH=(m+1)(m-1)=m^2-1,\qquad G^2=m^2.\]
To odporuje rovnosti \(AH=G^2\).
Ne. U dvou různých kladných čísel nemohou být \(A,G,H\) po sobě jdoucí celá čísla.