Vážení bez štítků
Čtyři zásilky mají kladné celočíselné hmotnosti v kilogramech. Zvážíme každou z šesti dvojic, ale u výsledků se ztratí označení, která hodnota patřila které dvojici.
Zůstane seznam všech šesti výsledků: \(9,10,11,12,13,14\ \mathrm{kg}\).
Urči hmotnosti čtyř zásilek a dokaž jejich jednoznačnost.
Řešení krok za krokem
Krajní součty poznáme i bez štítků
Seřazení hmotností určí, kterým dvojicím patří dva nejmenší a dva největší výsledky.
Seřadíme hmotnosti
Označme je \(a\le b\le c\le d\). Šest výsledků je různých, proto ve skutečnosti \(a<b<c<d\). Nejmenší dva součty jsou \(a+b=9\), \(a+c=10\); největší dva jsou \(b+d=13\), \(c+d=14\).
Využijeme prostřední výsledky
Z prvních rovnic plyne \(c=b+1\). Zbývající součty \(a+d\) a \(b+c\) jsou \(11\) a \(12\). Protože \(b+c=2b+1\) je lichý, musí být \(11\). Tedy \(b=5\), \(c=6\).
Dopočítáme krajní hmotnosti
Kontrola všech dvojic dává postupně přesně \(9,10,11,12,13,14\).
Zásilky váží \(4,\ 5,\ 6\) a \(8\ \mathrm{kg}\).