Zlomky o krok vedle
Najdi všechna kladná celá čísla \(n\), pro která platí
\[\frac{n+2}{n+3}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{40}.\]
Číslo nestačí jen ověřit. Zdůvodni také, proč žádné jiné kladné \(n\) nevyhovuje.
Řešení krok za krokem
Rozdíl se zjednoduší víc, než se zdá
Společný jmenovatel vypadá složitě, v čitateli se ale téměř všechno odečte.
Odečteme zlomky
Po převedení na společný jmenovatel dostaneme
\[\frac{(n+2)(n+1)-n(n+3)}{(n+1)(n+3)}
=\frac{2}{(n+1)(n+3)}.\]
Rovnice se tedy zkrátí na \(\frac{2}{(n+1)(n+3)}=\frac{1}{40}\).
Doplníme čtverec
Po vynásobení jmenovatelů platí
\[(n+1)(n+3)=80.\]
Levá strana je \((n+2)^2-1\), takže \((n+2)^2=81\).
Použijeme podmínku \(n>0\)
Číslo \(n+2\) je kladné, proto \(n+2=9\) a \(n=7\). Kontrola:
\[\frac{9}{10}-\frac{7}{8}=\frac{36-35}{40}=\frac{1}{40}.\]
Jediným řešením je \(n=7\).